leçon 2 : Caractéristiques d'une distribution statistique à une dimension

Elles servent à mesurer les inégalités dans la répartition des fortunes ou des ressources.

La Médiale

La médiale est la valeur du caractère qui partage la masse salariale en deux parties égales.

La formule de la masse salariale est :

Avec

Calcul de la médiale

La médiale se calcule par la méthode de l'interpolation linéaire.

Le rang de la Médiale =

Position de la Médiale par rapport à la Médiane

La médiale est toujours supérieure à la médiane et Mle – Me = indicateur de concentration.

où Mle est la Médiale, Me la médiane et e est l'étendue, Ic est un autre indicateur de concentration.

La courbe de Lorentz

La courbe de Lorentz est un moyen graphique de représenter la façon frappante l'ampleur de l'inégalité dans la répartition par tranche de la richesse ou du revenu. La courbe consiste en une boîte carrée unitaire. L'axe horizontal de la boîte représente les fractions cumulées des unités de population qui vont de 0 à 1. L'axe vertical représente les fractions cumulées de revenus ou de la richesse en partant des plus pauvres qui vont de 0 à 1. La diagonale représente l'égalité parfaite. Plus la courbe est proche de la diagonale, plus l'inégalité est faible. La courbe de Lorentz ou la courbe de la concentration est paramétrée par les couples de points

= fréquence relative cumulée croissante, = masse salariale relative cumulée croissante

Indice de Gini

Le coefficient de Gini des pays développés se situe autour de 0,4.

La surface entre la courbe et la première bissectrice est l'aire de la concentration.

Détermination numérique de l'indice de Gini

Il existe plusieurs méthodes de détermination numérique de l'indice de Gini. La plus courante est la méthode de trapèze.

f_i= fréquence relative, Q_i-1 : masse salariale relative cumulée de l'intervalle i –1, Q_i : masse salariale relative cumulée de l'intervalle i.

Les indices composites élaborés par les institutions internationales de développement

Il existe deux types d'indices composites élaborés par ces institutions internationales.

Indice composite élaboré par la Banque Mondiale

L'indice de pauvreté basé sur les revenus

La pauvreté est une notion relative, sa définition et sa mesure sont particulièrement conventionnelles. Le concept n'a notamment pas le même sens au sein d'une économie en voie de développement et d'une économie parmi les plus avancées. Deux approches sont utilisées pour mesurer la pauvreté : approche monétaire et l'approche non monétaire. Au niveau de l'approche monétaire, on a deux notions : la pauvreté relative et la pauvreté absolue. Au niveau de la pauvreté relative, un individu au sein d'une société est dit pauvre si son revenu est inférieur à 50% ou à 60% du revenu médian Au niveau de la pauvreté absolue, une personne est considérée comme pauvre si elle dispose de moins d'un dollar par jour pour vivre ou de moins deux dollars par jour pour vivre. Pour les mesures de la pauvreté, une information est nécessaire : la ligne de pauvreté, elle est la ligne qui sépare les pauvres des non pauvres, elle est encore appelée le plus couramment le seuil de pauvreté. Ce seuil est défini comme le niveau de revenu nécessaire à l'individu ou au ménage pour assurer ses besoins alimentaires et non alimentaires de base. Une fois ce seuil fixé, un premier calcul peut être effectué : trouver le nombre (q) d'individus (ménages) ayant un revenu inférieur à ce seuil. On obtient ainsi ce qui est souvent appelé l'indice de pauvreté (H) en rapportant ce nombre de pauvres à la population totale. Soit N le nombre total d'individus ou de ménages et q le nombre d'individus ou de ménages ayant un revenu inférieur à ce seuil (Z). Le seuil de pauvreté est fixé par la Banque Mondiale, il est d'un dollar par jour.

Indice de pauvreté

L'indice d'intensité de la pauvreté

Z est la ligne de pauvreté, q est le nombre de pauvres et Yi est le revenu de l'individu pauvre i

L'indice normalisé de l'intensité de la pauvreté ou l'indice de la profondeur de la pauvreté :

Où N est la taille de la population.

Indice élaboré par le PNUD

Le PNUD a élaboré deux types d'indices composites. Ce sont l'indice de la pauvreté humaine et l'indice du développement humain. Il s'agit de l'approche non monétaire de la pauvreté. Elle est centrée sur les manques des individus en termes de santé, de pouvoir, de capacité et de considération.

L'indice de la pauvreté humaine

Le PNUD propose de cerner la pauvreté sur base d'indicateurs traduisant les conditions précaires de la vie quotidienne en privilégiant les conditions aux ressources plutôt que leur détention. Il est un complément de l'IDH. Le premier indicateur renvoie à un état global de bien-être basé sur la longévité estimé à partir du pourcentage de population risquant de décéder avant 40 ans. Le deuxième indicateur est basé sur le niveau éducatif estimé à partir du taux d'alphabétisation des adultes.

Le troisième indicateur est une moyenne arithmétique simple de trois indicateurs reliés aux conditions d'accès aux ressources indispensables pour assurer une qualité de vie minimale :

• le pourcentage de population n'ayant pas accès à l'eau potable ;

• le pourcentage de population n'ayant pas accès aux services de santé ;

• le pourcentage d'enfants de moins de cinq ans ayant une insuffisance pondérale.

De façon à donner un poids plus grand aux indicateurs où l'état de pauvreté est le plus accentué, le PNUD propose ici d'élever à la puissance 3 chacun des indicateurs et de prendre ensuite la racine cubique de l'indicateur ainsi obtenu pour pouvoir exprimer l'indice synthétique de pauvreté en pourcentage

Soit : IPH=

Où N=3 étant donné que les indicateurs sont au nombre de trois actuellement dans le calcul du PNUD.

Il est scindé en deux, le premier c'est-à-dire l'IPH-1 est adapté aux pays pauvres et repose sur trois variables à savoir :

• Le risque de mourir avant 40 ans ;

• Le taux d'alphabétisation des adultes ;

• Les conditions de vie mesurées par :

  1. L'accès aux services de santé ;

  2. L'accès à l'eau potable ;

  3. La sous-nutrition chez les enfants de moins de cinq ans.

Le calcul de l'IPH-2 est adapté aux pays riches, il combine quatre indicateurs à savoir :

• l'indicateur de longévité ;

• l'indicateur d'instruction ;

• l'indicateur de conditions de vie ;

• l'indicateur de l'exclusion.

L'IPH-1 repose sur trois variables :

• le risque de mourir avant 40 ans ;

• le taux d'analphabétisme des adultes ;

• les conditions de vie mesurées par l'accès aux services de santé, à l'eau potable et la sous-nutrition chez les enfants de moins de cinq ans.

Pour les pays développés, il tient compte en plus du manque de conditions de vie décente appréhendé par le pourcentage de personnes vivant sous la demi-médiane du revenu disponible des ménages

L'indice de pauvreté basé sur les revenus

Pour les mesures de la pauvreté, une information est nécessaire : la ligne de pauvreté, elle est la ligne qui sépare les pauvres des non pauvres, elle est encore appelée le plus couramment le seuil de pauvreté. Ce seuil est défini comme le niveau de revenu nécessaire à l'individu ou au ménage pour assurer ses besoins alimentaires et non alimentaires de base. Une fois ce seuil fixé, un premier calcul peut être effectué : trouver le nombre (q) d'individus (ménages) ayant un revenu inférieur à ce seuil. On obtient ainsi ce qui est souvent appelé l'indice de pauvreté (H) en rapportant ce nombre de pauvres à la population totale. Soit N le nombre

total d'individus ou de ménages et q le nombre d'individus ou de ménages ayant un revenu inférieur à ce seuil. Soit

L'indice d'intensité de la pauvreté

Z est la ligne de pauvreté, q est le nombre de pauvres et Yi est le revenu de l'individu pauvre i

L'indice normalisé de l'intensité de la pauvreté ou l'indice de la profondeur de la pauvreté :

Où N est la taille de la population.

L'indice de développement humain (IDH)

Au lieu du seul PIB par habitant, considéré par la Banque Mondiale comme l'indice unique de développement, le PNUD a proposé depuis le début des années 1990 de prendre en compte trois variables qui, après calcul, pourraient permettre une comparaison des niveaux de développement entre les pays. Depuis sa création, cet indice a subi de nombreuses transformations. La formule présentée ici est celle de 2011. L'idée centrale de cet indice est de fusionner dans un indice synthétique, trois indicateurs, censés rendre en compte les trois dimensions importantes de l'état de développement d'un pays : l'état sanitaire (approché par l'espérance de vie de la population), le niveau d'éducation (estimé à la fois par le taux d'alphabétisation et le taux de scolarisation brut- primaire, secondaire et supérieur) et le niveau de vie (mesuré par le PIB par tête estimé en parité de pouvoir d'achat).

Le calcul de l'IDH nécessite des données pour ces variables. Pour chacune de ces variables un indicateur est construit situant le pays dans l'intervalle entre une valeur minimale et une valeur maximale estimée sur base des valeurs que peuvent prendre historiquement ou techniquement ces variables.

La formule à appliquer pour chacune des variables est :

Mais pour obtenir l'indicateur du niveau d'éducation, il faut d'abord calculer chacun des deux indicateurs ( de scolarisation et d'alphabétisation des adultes). Ensuite, les indicateurs du taux de scolarisation et d'alphabétisation des adultes sont réunis en un seul indicateur (le niveau d'éducation) sur base d'une pondération respective 1/3 et 2/3.

Enfin pour construire l'indicateur de niveau de vie, on ne prend pas la valeur arithmétique du PIB par habitant, mais son logarithme. Par cette transformation, on donne plus de poids aux écarts relatifs entre les revenus plutôt qu'aux écarts absolus.

Indicateur de revenu :

L'IDH est un indice statistique composite, créé par le (PNUD) en 1990 pour évaluer le niveau de développement humain des pays du monde. L'IDH se fonde sur trois critères majeurs : l'espérance de vie à la naissance, le niveau d'éducation et le niveau de vie. Il a été développé par l'économiste indien Amartya Sen et l'économiste pakistanais Mahbub ul Haq. Pour Sen comme pour le PNUD, le développement est plutôt un processus d'élargissement du choix des gens qu'une simple augmentation du revenu national. Son calcul initial a été modifié en 2011.

L'IDH est un indice composite, sans dimension, compris entre 0 (exécrable) et 1 (excellent).

Formules

Initialement basé sur une moyenne arithmétique, l'IDH se base aujourd'hui sur une moyenne géométrique. L'objectif est d'éviter qu'un très mauvais score sur l'une des composantes de l'indice puisse être intégralement compensé par un bon résultat sur une autre des composantes. Par ailleurs, le calcul du niveau de vie est désormais calculé à partir d'un logarithmique naturel.

où I_Vie, I_Éducation et I_Revenu sont respectivement les indices de longévité, niveau d'éducation et niveau de vie.