Echange pur de deux biens par deux consommateurs
Considérons deux biens X ; Y et de deux consommateurs 1 et 2 :
U1 = U1 (X1 ; Y1) et U2 = U2(X2 ; Y2) sont les fonctions d'utilité respectives de ces 2 consommateurs. Les dotations initiales en biens X, Y pour chaque consommateur sont : W1° = W(X1° Y1°) W2° = W(X2° , Y2°). A partir de ces données, nous allons déterminer le prix d'équilibre et les quantités échangées en faisant intervenir un 3ème personnage : le commissaire-priseur de Walras. Il crie au hasard un vecteur prix. A ces prix, chaque consommateur va exprimer ses offres et ses demandes de chaque bien. Ce processus de variation de prix continue jusqu'à l'égalisation des offres et demandes pour chaque bien. C'est alors et seulement alors que le commissaire-priseur autorise les consommateurs à échanger. Le tâtonnement Walrasien permet d'assurer constamment l'équilibre. En effet, tout se passe, selon Walras, comme si un commissaire-priseur était présent sur chaque marché. Celui-ci, par un processus de tâtonnement augmente lorsque l'offre est inférieure à la demande ou diminue lorsque l'offre est supérieure à la demande, les prix jusqu'à ce que l'offre soit égale à la demande. Cette autorégulation par les prix se réalise sur tous les marchés interdépendants. C'est l'équilibre général : toute production offerte au prix du marché est achetée. L'économie est en plein emploi car tous ceux qui voulaient travailler au salaire du marché sont embauchés et toute l'épargne est investie.
Soit P (P1, P2), le vecteur prix qui est proposé par le commissaire-priseur. Le revenu du consommateur 1 est : R1=P1X1o+P2Y1o, le consommateur 1 va résoudre le programme. MaxU1=U(X1, Y1)
S/C R1 = P1X1 + P2X2
Les demandes marshalliennes sont X1* (.) et Y1*(.)
Le consommateur 2 va résoudre le programme suivant :
Max U2= U2 (X2, Y2)
S/C R2 = P1 X2 + P2X2 ou P1X2o + P2 Y2o
Les demandes marshalliennes du consommateur 2 sont X2*(.) et Y2*(.)
Les demandes totales en biens X et Y
DX = X1* () + X2*() quantité totale de X
DY = Y1*() + Y2*() quantité totale de Y
Les offres totales Sx = X1° + X2° Sy = Y1° + Y2°
Le commissaire-priseur crie un vecteur prix P(P1, P2)
Ex = Dx – Sx
EX = demande nette du bien X ; D = demande
Ey = Dy – Sy
EY = demande nette du bien Y ; S = Offre
Ces demandes nettes peuvent ne pas être nulles avec la première proposition de prix. Il va poursuivre ce processus de variation de prix. Selon le signe des demandes nettes jusqu'à trouver le vecteur prix tel que Ex=0 et Ey=0 ; c'est le système de prix d'équilibre. Ce processus de variation de prix à partir d'un système de prix arbitraires est appelé le tâtonnement walrasien.
