Leçon 4: Stationnarité, Cointégration et Modèles à Correction d'Erreurs

Nous allons examiner la possibilité d'une relation de cointégration entre les variables intervenant dans la fonction de consommation. S'il existe une telle relation alors il est possible d'estimer la fonction de consommation à court terme sous la forme d'un modèle à correction d'erreurs.

Pour qu'une relation de cointégration existe entre des variables, deux conditions doivent être réunies. Premièrement, les variables doivent être non stationnaires et intégrées du même ordre. Deuxièmement, leurs tendances stochastiques doivent être liées, c'est-à-dire qu'il doit exister au moins une combinaison linéaire de ces variables qui soit stationnaire. Par conséquent, en premier lieu, on doit déterminer l'ordre d'intégration des variables par le biais des tests de racines unitaires standards. Ces tests effectués précédemment ont montré que les variables LC, LPIBR et LIPC étaient intégrées d'ordre un. Nous allons étudier la possibilité de cointégration entre ces variables en utilisant l'approche d'Engle et Granger et celle de Johansen.

• Test d'Engle et Granger

Ce test se fait en deux étapes. La première étape estime la relation statique de long terme par la méthode des moindres carrés ordinaires. La seconde étape procède au test de stationnarité des résidus de l'équation statique. La cointégration nécessite que la série résiduelle soit stationnaire.

Etape 1 : Estimation de la relation de long terme

La relation statique de long terme s'écrit sous la forme suivante :

Il s'agit d'une équation linéaire dont la procédure d'estimation a été déjà vue. Le tableau suivant reporte les coefficients de régression de cette équation.

Tableau 14.3 : Estimation de la relation de long terme

Pour que la relation estimée soit une relation de cointégration, le résidu issu de cette régression doit être stationnaire. Si les résidus sont non stationnaires, la relation estimée pourrait être une régression fallacieuse. On va donc générer la série des résidus de cette équation. Pour cela, cliquez sur Procs/Make Residuals series... et tapez le nom de la série des résidus, soit RES.

Etape 2 : Test de stationnarité sur la série des résidus

On applique les tests de racine unitaire sur la série des résidus RES. Les résultats issus de l'application des tests ADF et PP sont reportés dans le tableau suivant :

Les statistiques de tests reportent toutes des valeurs inférieures aux valeurs critiques à 5%. On en déduit donc que la série des résidus de l'équation statique est stationnaire. Par conséquent, les séries sont cointégrées. Il est alors possible d'estimer le modèle à correction d'erreurs.

• Test de cointégration de Johansen

La méthode de Johansen requiert tout d'abord de déterminer le nombre de retards du VAR en niveau. Nous avons vu comment déterminer l'ordre optimal d'un VAR. En suivant la même démarche, avec un retard maximal de 4, les critères d'information indiquent deux retards pour le VAR en niveau. Après cette étape, sélectionnez puis ouvrez le groupe des trois variables. A partir du menu du groupe, sélectionnez View/Cointegration Test.... Entrez ensuite le nombre de retards du VAR en différence première.

Pour réaliser le test du rang de cointégration de Johansen, il faut choisir parmi les cinq spécifications possibles celle qui apparaît la plus plausible pour les données. L'option par défaut est la troisième, à savoir qu'il existe une constante à la fois dans l'équation de cointégration et dans la forme à correction d'erreurs. La présence des deux constantes implique la présence d'une tendance linéaire dans les niveaux des séries. L'option 6 fait un résumé des cinq spécifications. En choisissant cette option, on obtient le tableau suivant:

Tableau 14.5: Récapitulatif du test de cointégration de Johansen

On peut ainsi lire le nombre de relations de cointégration suivant l'hypothèse faite pour la spécification du modèle. Par exemple, si on suppose qu'il n'y a aucune tendance dans les séries, la présence d'un terme constant dans l'espace de cointégration (cas 2) conduit à retenir, selon la statistique de la trace, l'hypothèse de deux relations de cointégration entre les trois variables au seuil de 5%. La statistique de la valeur propre maximale indique au contraire une seule relation de cointégration. En supposant une tendance linéaire dans les données et une constante dans les équations de cointégration (cas 3), la statistique de la trace indique trois relations de cointégration. L'existence de trois relations de cointégration entre trois variables non stationnaires s'avère impossible car elle remet en cause la non stationnarité des variables.

En pratique, on ne choisit pas les cinq spécifications mais une seule. Or nous constatons que le choix de la spécification n'est pas sans conséquence sur la structure du modèle. Comment choisir la spécification la plus adaptée aux données ? L'analyse graphique des séries ainsi que les tests de stationnarité peuvent être utiles à ce stade pour suggérer le choix de la ''bonne'' spécification. En examinant l'évolution des trois variables, on constate que celles-ci présentent une tendance à la hausse. Si nous voulons autoriser la présence d'une constante dans la relation de cointégration, nous devons choisir la deuxième ou la troisième spécification. Cependant, les estimations montrent que ni la constante ni la tendance ne sont significatives. La mise en relation des variables supprime donc la tendance linéaire commune dans la relation. Nous choisissons la première option qui exclue la constante et la tendance de toutes les équations. Les résultats du test correspondant à cette spécification sont consignés dans le tableau suivant.

Tableau 14.6 : Statistique de la trace du test de cointégration de Johansen

L'interprétation du test se fait de façon séquentielle partant de r = 0 à r = p - 1 = 2 . L'on s'arrête dès que l'hypothèse nulle est acceptée.

La première ligne du tableau teste l'hypothèse selon laquelle r = 0, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de relation de cointégration. Pour cette hypothèse, la statistique de la trace reporte une valeur de 36,8405, supérieure aux valeurs critiques à 5% (24.31) et 1% (29,75), ce qui conduit à rejeter l'hypothèse qu'il n'existe aucune relation de cointégration entre les variables. La ligne suivante du tableau teste l'hypothèse d'au plus une relation de intégration. Cette hypothèse ne peut être rejetée car la valeur de la statistique de la trace est inférieure à la valeur critique à 5%. La procédure de test s'arrête à ce niveau. Finalement, la statistique de la trace indique qu'il y a une seule relation de cointégration aux seuils de 5% et 1%.

Etant donné les distorsions du test de cointégration à distance finie, nous allons réexaminer les résultats du test de cointégration en introduisant les facteurs de correction proposés par Reinsel et Ahn (1992) et Cheung et Lai (1993). Les résultats sont reportés dans le tableau suivant :

Tableau 14.7 : Correction de la statistique de la trace du test de cointégration de Johansen

En considérant ces corrections, la conclusion du test de la trace ne s'en trouve pas modifiée. En effet, l'hypothèse d'absence de cointégration est toujours rejetée au seuil de 5%. En revanche, on ne peut rejeter l'hypothèse d'au plus une relation de cointégration. Le test de la valeur propre maximale dont les résultats sont reportés dans le tableau ci-dessous confirme qu'il existe une seule relation de cointégration.

Tableau 14.8: Statistique de la valeur propre maximale du test de cointégration de Johansen

En définitive, nous retenons qu'il existe une seule relation de cointégration entre les trois variables. Nous allons estimer le modèle à correction d'erreurs qui lie la dynamique de court terme à celle de long terme.

Nous allons appliquer trois méthodes pour estimer la fonction de consommation sous la forme à correction d'erreurs.

• La méthode en une seule étape

Le modèle à correction d'erreurs est estimé sous la forme suivante

Sélectionnez Quick/Estimate Equation et entrez les variables de la façon suivante :

DLCons C DLPibr DLipc DLPibr(-1) DLipc(-1) DCons(-1) LCons(-1) LPibr(-1) Lipc(-1)

Les résultats de l'estimation montrent que le coefficient associé à la force de rappel est négatif (-0,86197) et significatif au seuil de 5%. Il existe bien un mécanisme à correction d'erreurs : les déviations par rapport à la relation de long terme induisent à court terme des changements dans l'évolution de la consommation, du PIB ou du prix de façon à forcer le système à converger vers son équilibre de long terme. La valeur numérique du coefficient de rappel représente la vitesse à laquelle tout déséquilibre entre les niveaux désiré et effectif de la consommation est résorbé dans l'année qui suit tout choc. Ainsi, environ 86,197% des déséquilibres de la consommation par rapport à son niveau de long terme sont corrigés l'année suivante. Un choc constaté au cours d'une année est entièrement résorbé au bout d'une année et 2 mois.

Tableau 14.9: Coefficients de régression du modèle à correction d'erreurs (méthode en une étape)

Le taux de croissance de la consommation dépend de façon positive du taux de croissance courant du PIB réel et du taux de croissance passé de la consommation. Ce dernier résultat est en accord avec les théories microéconomiques mettant en avant le rôle des habitudes dans les choix de consommation des individus.

On peut calculer les élasticités de court et de long terme de la consommation par rapport au revenu. L'élasticité de court terme est β₁ = 0.3568. Si le PIB réel augmente de 10%, la consommation à court terme augmente de 35.68%. L'élasticité de long terme est égale à . La consommation augmente à long terme de 9.145% suite à une augmentation du PIB réel de 10%.

On peut effectuer sur ce modèle tous les tests classiques sur les résidus (autocorrélation, hétéroscédasticité, normalité, stabilité, test d'erreur de spécification). Les résultats des tests de diagnostic montrent que les résidus du modèle vérifient toutes les hypothèses du modèle linéaire.

• La méthode en deux étapes d'Engle et Granger

La méthode en deux étapes estime dans un premier temps la rélation de cointégration et introduit, dans un second temps, la série résiduelle retardée d'une période issue de cette rélation dans l'équation de court terme. Nous avons déjà estimé la relation de long terme et généré la série des résidus RES. Il s'agit maintenant d'introduire la variable RES(-1) dans le modèle en différence première. L'équation à estimer se présente alors sous la forme suivante :

Les résultats de l'estimation sont reportés dans le tableau suivant :

Tableau 14.10 : Coefficients de régression du modèle à correction d'erreurs (méthode en deux étapes)

Les variables étant toutes stationnaires, les tests usuels s'appliquent. Le coefficient associé à la force de rappel est égal à -0,821. Il est négatif et significatif au seuil de 5%. La représentation à correction d'erreurs est donc validée. La valeur du coefficient indique qu'environ 82% du déséquilibre de la période t-1 est corrigé en t. L'élasticité de long terme issue de l'estimation de la relation de cointégration est de 0,909. L'élasticité de court terme est estimée à 0,4019. Nous remarquons que les resultats sont proches de ceux obtenus par la méthode en une étape.

Il est important de rappeler que le modèle à correction d'erreurs ne se réduit pas à une seule équation. Nous supposons ici qu'il se réduit à une seule équation parce que nous faisons l'hypothèse d'exogénéïté faible des variables explicatives (LPIBR et LIPC). Il convient de tester cette hypothèse dans l'étape suivante. Il est également possible d'appliquer tous les tests classiques (autocorrélation, hétéroscédasticité, normalité, stabilité...) sur ce modèle.

• La méthode de Johansen

L'approche de Johansen permet d'estimer simultanément la relation de cointégration et le modèle à correction d'erreurs. Pour estimer le modèle à correction d'erreurs, sélectionnez les variables dans le workfile, faites un clic droit, sélectionnez Open/ as VAR et cochez Vector Error Correction...

On remarquera que le nombre de retards est celui du modèle VAR en différence première et non celui du VAR en niveau. La méthode Johansen reste très sensible au nombre de retards. Un nombre de retards élevé accroît la probabilité d'existence de relation de cointégration.

Pour indiquer le nombre de relation de cointégration et le type de spécification, cliquez sur l'onglet Cointégration. Cliquez ensuite sur OK pour valider. Dans la mesure où nous avons trois variables, le modèle à correction d'erreurs comportera trois équations. Les résultats de l'estimation du modèle vectoriel à correction d'erreurs sont reportés dans le tableau suivant.

Tableau 14.11: Coefficients de régression du modèle à correction d'erreurs (méthode de Johansen)

La première partie du tableau donne la relation de cointégration. CointEq1 désigne les résidus retardés d'une période issus de la relation de cointégration. En mettant la variable LCONS en début, la procédure choisit cette variable comme étant la variable endogène, LPIB et LIPC étant les variables exogènes.

La relation de long terme s'écrit :

L'élasticité de long terme est donc estimée à 0,919, valeur qui est proche de celle obtenue par les deux méthodes précédentes.

La deuxième partie du tableau montre que le terme à correction d'erreurs est négatif et significativement différent de zéro dans l'équation relative au taux de croissance de la consommation. Dans les équations relatives aux deux autres variables, ce terme est négatif mais non significatif. Ce résultat indique que l'hypothèse d'exogénéïté faible des deux variables LPIBR et LIPC ne peut être rejetée. Nous avons maintenant la certitude statistique que la relation de cointégration mise en évidence plus haut est bien une équation de consommation. A court terme, le taux de croissance de la consommation ne dépend que de sa valeur passée, ceci reflète l'effet des habitudes de consommation.