Estimation
Connaissant
(moyenne ) et s ( écart - type) d'un échantillon de taille n, il s'agit d'estimer la moyenne m (ou la proportion p) inconnue, de la population mère P. Deux méthodes sont possibles :
l'estimation ponctuelle - on choisit une valeur m = m0.
l'estimation par intervalle de confiance - On choisit un intervalle de R contenant m avec une probabilité donnée.
Estimation ponctuelle
Estimation ponctuelle d'une moyenne :
Estimation ponctuelle d'une proportion.
Estimation ponctuelle d'une variance.
Estimation d'une moyenne et d'une variance à partir de deux échantillons.
On considère deux échantillons E1 et E2, de tailles respectives n1 et n2.
Les moyennes de ces deux échantillons sont respectivement :1 et 2 Les estimations sont les suivantes :
Estimation par intervalle de confiance
Intervalle de confiance pour la moyenne m
X
N (m, 
), étant connu l'intervalle de confiance pour m est un intervalle ]a, b[ tel que :
, 1 - α est appelé le niveau de confiance;
Cet intervalle est de la forme suivante : 
XN (m, ), étant inconnu et n 
30 - inconnu, on remplace par son estimation s ou s '.
Et dans ce cas on a :
, loi de Student
XN (m, ), étant inconnu et n > 30 -inconnu, on remplace par son estimation s
Et dans ce cas on a :
X ne suit pas N(m, ), et n 
30 - 
Intervalle de confiance pour une proportion p .
Si n est faible (n < 30 ), on utilise la méthode de l'ellipse. l'intervalle de confiance s'obtient en résolvant l'équation suivante en p : Il s'agit de l'équation d'une ellipse.
Application : Détermination de la taille d'un échantillon pour une estimation dont la précision est fixée.
Soit une estimation de m telle que : 
on veut déterminer la taille n, de l'échantillon, requise.
Si on cherche à estimer p avec une incertitude Δp pour un niveau de confiance 1-α, à risques symétriques. 
Si f est inconnu, on obtient une majoration de n pour f = 0,5 ( cas le plus défavorable pour un sondage) 
Exemple :
Dans le cas d'un intervalle à 95%, 
Tableau des valeurs de nMax
Δp \ 1-α | 0,90 | 0,95 | 0,98 |
0,01 | 6760 | 9600 | 13 530 |
0,02 | 1700 | 2400 | 3 380 |
0,05 | 270 | 380 | 540 |
Intervalle de confiance pour la différence de deux moyennes
Soient X1 N(m1, 1) et X2 N(m2, 2), indépendantes; et soit D = X1 - X2
L'intervalle de confiance pour m1 - m2 est :
Intervalle de confiance pour la différence de deux proportions
avec
NB : On peut prendre 
Intervalle de confiance pour la variance 2 X N(m,)
Exemple :
Une population est caractérisée par une variable aléatoire X N(m, ). Déterminer les intervalles de confiance des paramètres dans les cas suivants :
1°) Intervalle de confiance pour m à 90% :
n=20;
n=100
l'écart - type est inconnu. Déterminer un intervalle de confiance pour m au niveau de 95%.
L'écart - type est inconnu; déterminer un intervalle de confiance pour 2, sachant que :
En déduire un intervalle de confiance pour , au niveau 95%.
Solution
X N(m, ) 1-α=0,90
1-α/2 =0,95 et u0,95 = 1,645. L'intervalle de confiance pour m est de la forme :
On trouve : 
est inconnu
m et inconnus
Exemple :
Lors d'un sondage précédant des élections, 500 personnes ont été interrogées. Bien que ce ne soit pas en pratique, on suppose pour simplifier les calculs que les 500 personnes représentent un échantillon indépendant et identiquement distribué de la population.
Sur les 500 personnes, 150 ont répondu vouloir voter pour le candidat C1 et 140 pour le candidat C2.
Donner une estimation ponctuelle des intentions de votes, sous forme de pourcentage.
Donner un intervalle de confiance à 95% pour les intentions des votes de chacun des deux.
Solution – n=500 ; k1=150 ; k2=140
Estimation ponctuelle des votes
L'estimateur d'une proportion est la variable 
(fréquence d'échantillon) ; lorsque
n>30, F suit une loi
; et o obtient :
Intervalles de confiance à 95% ; ils sont de la forme suivante :
Ainsi au niveau de confiance de 95%, les chances de C1sont comprises entre 25,98% et 34,02 %. Et pour C2 entre 24,06% et 31,94%.
